Задача 53672

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B . Известно, что AO1B= 90^o , AO2B = 60^o , O1O2=a . Найдите радиусы окружностей.

Решение

Пусть линия центров O1O2 пересекает общую хорду AB окружностей в точке M . Тогда M — середина AB и O1O2 AB . Треугольник AO1B — прямоугольный и равнобедренный, а треугольник AO2B — равносторонний, поэтому, если r и R — радиусы окружностей с центрами O1 и O2 соответственно, то AB=r и AB=R , значит, R=r . Тогда

O1M=, O2M== =

Предположим, что центры окружностей лежат по разные стороны от прямой AB . Тогда O1M+MO2=O1O2 , или +=a . Отсюда находим, что
r=, R=r=.

Если же точки O1 и O2 лежат по одну сторону от прямой AB , то O2M-MO1=O1O2 . Тогда
r=, R=r=.

Ответ

, или , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1407