Задача 53653

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Треугольник ABC — равносторонний; A₁, B₁, C₁ — середины сторон BC, AC, AB соответственно. Докажите, что прямая A₁C₁ касается окружности, проходящей через точки A₁B₁C.

Подсказка

Через точку A₁ проведите касательную к указанной окружности и докажите, что она совпадает с прямой A₁C₁.

Решение

Через точку A₁ проведём касательную к указанной окружности. Пусть она пересекает прямую AB в точке M. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой

MA₁B₁ = A₁CB₁ = 60^o,

а т.к. A₁C₁ и A₁B₁ — средние линии треугольника ABC, то C₁A₁B₁ = 60^o. Следовательно, точка M совпадает с точкой C₁, т.е. A₁C₁ — касательная к указанной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1388