Задача 53650

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что точки пересечения биссектрис каждого из треугольников ABO, BCO, CDO и DAO являются вершинами квадрата.

Подсказка

Докажите, что диагонали указанного четырёхугольника взаимно перпендикулярны и делятся точкой их пересечения пополам, а стороны параллельны диагоналям данного ромба.

Решение

Пусть M, N, K и L — точки пересечения биссектрис треугольников ABO, BCO, CDO и DAO соответственно. Тогда прямые MK и NL проходят через точку O и MK NL.

Треугольники BOM и DOK равны по стороне (OB = OD) и двум прилежащим к ней углам, поэтому MO = OK. Аналогично NO = OL. Значит, MNKL — параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, т.е. ромб.

Пусть BP и BQ — биссектрисы равных треугольников ABO и CBO. Тогда по свойству биссектрисы треугольника

= = = ,

поэтому MN || AC. Аналогично ML || BD. Поскольку AC BD, то LMN = 90^o. Следовательно, MNKL — квадрат.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1385