ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53589
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки A, B и C расположены на одной прямой. Через точку B проходит некоторая прямая. Пусть M - произвольная точка на этой прямой. Докажите, что расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABM и CBM не зависит от положения точки M. Найдите это расстояние, если AC = a, $ \angle$MBC = $ \alpha$.


Подсказка

Опустите перпендикуляры из центров указанных окружностей на прямую AC.


Решение

Рассмотрим случай, изображенный на рисунке. Пусть O1 и O2 - центры описанных окружностей треугольников ABM и CBM, P1 и P2 - проекции точек O1 и O2 на прямую AC, F - проекция точки O2 на прямую P1O1. Поскольку O1P1 и O2P2 - серединные перпендикуляры к отрезкам AB и AC, то P1P2 = AC/2 = a/2. Тогда и O2F = a/2, а т.к. $ \angle$FO1O2 = $ \angle$MBC = $ \alpha$, то из прямоугольного треугольника O1O2F находим, что O1O2 = O2F/sin$ \angle$FO1O2 = a/(2 . sin$ \alpha$).

Для остальных случаев аналогично.


Ответ

a/(2 . sin$ \alpha$).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1330

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .