Написать модифицированный вариант алгоритма Евклида, использующий соотношения НОД(a,b) = НОД(a mod b, b) при a≥b, НОД(a,b) = НОД(a, b mod a) при b≥a.

   Решение

Существует ли такое значение α, что все члены бесконечной последовательности cos α, cos 2α, ..., cos(2ⁿα), ... принимают отрицательные значения?

   Решение

На плоскости нарисован острый угол с вершиной в точке O и точка P внутри него. Постройте точки A и B на сторонах угла так, чтобы треугольник PAB имел наименьший возможный периметр.

   Решение

Разрежьте «печенье» на 16 равных частей (т. е. одинаковых по размеру и по форме). Разрезы не обязательно прямолинейные.

   Решение

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны и по-разному ориентированы. На отрезке AA₁ взята такая точка A', что  AA' : A₁A' = BC : B₁C₁.  Аналогично строим B' и C'. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре треугольника. Известно, что радиусы окружностей, описанных около этих четырёх треугольников, равны между собой. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

Подсказка

Углы, вписанные в равные окружности и опирающиеся на равные хорды, либо равны, либо в сумме дают 180^o.

Решение

Пусть M — точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD. Поскольку углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну хорду, либо равны, либо в сумме дают 180^o, то углы, вписанные в равные окружности и опирающиеся на равные хорды, также либо равны, либо в сумме дают 180^o. Окружности, описанные около треугольников ABM и ADM, равны, но сумма углов ABM и ADM не может равняться 180^o. Следовательно, ABM = ADM, AB = AD. Далее аналогично.

Источники и прецеденты использования