Задача 53571

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Стороны пятиугольника в порядке обхода равны 5, 6, 7, 8 и 9. Стороны этого пятиугольника касаются одной окружности. На какие отрезки точка касания со стороной, равной 5, делит эту сторону?

Подсказка

Обозначьте через x один из искомых отрезков и выразите последовательно через x отрезки, на которые точки касания делят стороны пятиугольника.

Решение

Обозначим касательные, выходящие из вершины A, через x. "Обойдем" наш пятиугольник, выражая последовательно длины касательных из вершин B (равны 6 - x), C (равны 7 - (6 - x) = 1 + x), D (равны 8 - (1 + x) = 7 - x)) и E (равны 9 - (7 - x) = 2 + x). Получим, что сторона AE точкой касания делится на отрезки x и 2 + x. Из уравнения x + (2 + x) = 5 найдём, что x = .

Ответ

и .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1312