Задача 53554

Тема:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12.

Подсказка

Докажите, что диагональ квадрата равна полупериметру прямоугольника.

Решение

Пусть вершины M, N, K, L прямоугольника MNKL расположены соответственно на сторонах AB, BC, CD, AD квадрата ABCD; MN = 2KL; сторона MN параллельна диагонали AC квадрата; P и Q — точки пересечения AC с противоположными сторонами ML и NK прямоугольника MNKL. Обозначим ML = NK = 2x, MN = KL = 4x. Тогда MP = NQ = x.

Поскольку APM и CQN — равнобедренные прямоугольные треугольники, то AP = MP = x и CQ = NQ = x. Поэтому

PM + MN + NQ = AP + PQ + QC = 12, или x + 4x + x = 12.

Отсюда находим, что x = 2. Следовательно,

MN = 4x = 8, KN = 2x = 4.

Ответ

4 и 8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1284