Информация о задаче

Задача 53522

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из одной точки окружности проведены две хорды, равные 10 и 12. Найдите радиус окружности, если расстояние от середины меньшей хорды до большей равно 4.

Подсказка

Соедините середины данных хорд.

Решение

Пусть M — середина хорды AB = 10, MP — перпендикуляр, опущенный из точки M на большую хорду AC = 12, K — середина большей хорды. Тогда

AP = $\displaystyle \sqrt{AM^{2}- MP^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{5^{2}- 4^{2}}$ = 3, PK = AK - AP = 3.

Поэтому треугольник AMK — равнобедренный.

Поскольку MK — средняя линия треугольника ABC, то

BC = 2MK = 10, sin $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle {\frac{MP}{AM}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ .

Если R — искомый радиус, то

R = $\displaystyle {\frac{BC}{2\sin \angle BAC}}$ = $\displaystyle {\frac{10}{2\cdot \frac{4}{5}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{4}}$ .

Ответ

${\frac{25}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1251