Задача 53518

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Отношения площадей подобных фигур ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD диагонали AC и DB взаимно перпендикулярны,  ∠ABD = ∠ACD.  На продолжениях боковых сторон AB и DC за большее основание AD отложены отрезки AM и DN так, что получается новая трапеция MADN, подобная трапеции ABCD. Найдите площадь трапеции MBCN, если площадь трапеции ABCD равна S, а сумма углов при большем основании равна 150°.

Решение

Пусть K – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Поскольку  ∠ABD = ∠ACD, около трапеции ABCD можно описать окружность, поэтому она равнобедренная.  ∠BAK = ∠BAD – ∠KAD = 75° – 45° = 30°.  Коэффициент подобия трапеций MADN и ABCD равен  ^AD/_BC = ^AK/_KC = ^AK/_KB = .  Поэтому
S_MADN = 3S,  а  S_MBCN = S_MADN + S_ABCD = 4S.

Ответ

4S.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1247