Задача 53474

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Через вершины A, B и C треугольника ABC проведены прямые, параллельные противолежащим сторонам. Эти прямые пересекаются в точках C₁, A₁ и B₁. Докажите, что стороны треугольника ABC являются средними линиями треугольника A₁B₁C₁.

Подсказка

Примените свойства параллелограмма.

Решение

Пусть вершины A, B и C даноого треугольника лежат на сторонах соответственно B₁C₁, A₁C₁, A₁B₁ построенного треугольника A₁B₁C₁. Поскольку AB₁ || BC и CB₁ || AB, то четырёхугольник AB₁CB — параллелограмм. Значит, AB₁ = BC. Аналогично докажем, что AC₁ = BC. Следовательно, AB₁ = AC₁, т.е. A — середина B₁C₁. Аналогично для вершин B и C.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1203