Задача 53417

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Докажите, что  AC || BD  и  AD || BC.

Подсказка

Докажите, что  ∠OAC = ∠OBD.

Решение

Треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу между ними  (AO = BO  и  CO = DO  по условию, а углы AOC и BOD равны как вертикальные), поэтому  ∠OAC = ∠OBD.  Прямая AB пересекает прямые AC и BD, причём накрест лежащие углы OAC и OBD равны. Следовательно, прямые AC и BD параллельны. Аналогично,  AD || BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1145