Задача 53360

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC известны углы:  ∠A = 45°,  ∠B = 15°. На продолжении стороны AC за точку C взята точка M, причём  CM = 2AC.  Найдите  ∠AMB.

Подсказка

Отложите на отрезке CB отрезок CK, равный отрезку AC.

Решение

  Пусть P – середина отрезка CM. Тогда   AC = CP = PM.  Отметим на стороне CB точку K так, что  CK = CA.  По теореме о внешнем угле треугольника
∠PCK = ∠CAB + ∠ABC = 45° + 15° = 60°.
  Поэтому треугольник CPK – равносторонний. Значит,  PC = PK = PM.  Следовательно, треугольник CKM – прямоугольный и  ∠AMK = 90° – 60° = 30°.
  Поскольку  ∠CAK = ∠CKA = 30°,  то треугольник AKM – равнобедренный, а так как  ∠KAB = ∠KBA = 15°,  то треугольник AKB – также равнобедренный. Следовательно, K – центр описанной окружности треугольника AMB, а  ∠AMB = ½ ∠AKB = 75°.

Ответ

75^o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1056