Задача 53323

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников:
  а) по двум катетам;
  б) по катету и прилежащему острому углу;
  в) по катету и гипотенузе;
  г) по гипотенузе и острому углу.

Решение

  Пусть ABC и A₁B₁C₁ – прямоугольные треугольники, в которых  ∠C = ∠C₁ = 90° и, кроме того, известно следующее.

  а)  AC = A₁C₁ , BC = B₁C₁.  Тогда они равны по двум сторонам и углу между ними.

  б)  BC = B₁C₁,  ∠B = ∠B₁.  Тогда они равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

  в)  BC = B₁C₁,  AB = A₁B₁.  На продолжении отрезка BC за точку C отложим отрезок CD, равный BC. Аналогично построим точку D₁ на продолжении B₁C₁ за точку C₁.
  Прямоугольный треугольник ADC равен треугольнику ABC, а прямоугольный треугольник A₁D₁C₁ – треугольнику A₁B₁C₁ (по двум катетам). Значит,
AD = AB = A₁B₁ = A₁D₁,  BD = 2BC = 2B₁C₁ = B₁D₁.  Поэтому равнобедренные треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по трём сторонам. Значит, равны их соответствующие углы ABC и A₁B₁C₁. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

  г)  AB = A₁B₁ , ∠B = ∠B₁.  Построим треугольники ADC и A₁D₁C₁ как в в).
  В этом случае треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, равны их соответствующие углы BAC и B₁A₁C₁. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне  (AB = A₁B₁)  и двум прилежащим к ней углам.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1019