Задача 53294

Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Даны два одинаковых пересекающихся круга. Отношение расстояния между их центрами к радиусу равно 2m . Третий круг касается внешним образом первых двух и их общей касательной. Найдите отношение площади общей части первых двух кругов к площади третьего круга.

Решение

Пусть O1 , O2 — центры кругов, R — радиус, A и B — точки пересечения, C — точка пересечения отрезков O102 и AB . Тогда C — середина AB и O1O2 , и AB O1O2 .
По условию задачи O1O2 = 2mR . Тогда

O1C = mR, cos AO1C = cos α = = = m.
Поэтому
α = arccos m, S_{Δ AO}1B = S_{Δ AO}2B = O1A· O1B sin 2α =

= R2· 2 sin α cos α = R2m.
Вычитая из площади сектора AO1B площадь треугольника AO1B , получим, что
· 2α R2- R2m = R2( arccos m- m).
Следовательно, площадь общей части кругов равна
2R2( arccos m - m).

Пусть теперь x — радиус третьего круга, P — его точка касания с общей касательной MN к первым двум кругам ( M и N — точки касания с первым и вторым кругом). Тогда MN = O1O2 и MP = PN = 2 Поскольку MN = 2MP , то 2· 2 = 2Rm . Отсюда находим, что x = , а площадь третьего круга равна π x2 = π m4· . Следовательно, искомое отношение равно
.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	989