Информация о задаче

Задача 53285

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В ромбе ABCD из вершины D на сторону BC опущен перпендикуляр DK. Найдите сторону ромба, если AC = 2 $\sqrt{6}$ , AK = $\sqrt{14}$ .

Подсказка

Обозначьте через x сторону ромба, выразите через x косинусы углов ACB и BCD и примените теорему косинусов к треугольнику AKC.

Решение

Обозначим сторону ромба через x. Пусть $\angle$ ACB = $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ BCD = 2 $\displaystyle \alpha$ , cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{AC}{2BC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{6}}{x}}$ ,

cos 2 $\displaystyle \alpha$ = 2 cos² $\displaystyle \alpha$ - 1 = $\displaystyle {\frac{12 - x^{2}}{x^{2}}}$ , CK = CD cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{12 - x^{2}}{x}}$ .

По теореме косинусов из треугольника AKC находим, что

AK² = CK² + AC² - 2CK^.AC cos $\displaystyle \alpha$ ,

или

14 = $\displaystyle {\frac{(12 - x^{2})^{2}}{x^{2}}}$ + 24 - 2^. $\displaystyle {\frac{12 - x^{2}}{x}}$ ^.2 $\displaystyle \sqrt{6}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{6}}{x}}$ , x⁴ + 10x² - 144 = 0.

Из этого уравнения находим, что x² = 8.

Ответ

2 $\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	980