Информация о задаче

Задача 53284

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона в $\sqrt{2}$ раз меньше основания BC, CE — высота. Найдите периметр трапеции, если BE = $\sqrt{5}$ , BD = $\sqrt{10}$ .

Подсказка

Обозначьте AB = CD = x, выразите через x косинус угла ADC и примените теорему косинусов к треугольнику DBC.

Решение

Обозначим AB = CD = x. Тогда

BC = x $\displaystyle \sqrt{BE^{2}- BC^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{5 - 2x^{2}}$ ,

DE = $\displaystyle \sqrt{CD^{2}- CE^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{x^{2}- (5 - 2x^{2})}$ = $\displaystyle \sqrt{3x^{2}- 5}$ ,

cos $\displaystyle \angle$ ADC = $\displaystyle {\frac{DE}{CD}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3x^{2}- 5}}{x}}$ .

По теореме косинусов из треугольника DBC находим, что

BD² = BC² + CD² - 2BC^.CD cos $\displaystyle \angle$ BCD = BC² + CD² + 2BC^.CD cos $\displaystyle \angle$ ADC,

или

10 = 2x² + x² + 2x $\displaystyle \sqrt{3x^{2}- 5}$ .

Из этого уравнения находим, что x² = 2. Тогда

BC + AD = 2AE = 2 $\displaystyle \sqrt{AC^{2}- CE^{2}}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{5 + 2x^{2}}$ = 2^.3 = 6.

Следовательно, периметр трапеции равен 6 + 2 $\sqrt{2}$ .

Ответ

6 + 2 $\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	979