Задача 53250

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность проходит через соседние вершины M и N прямоугольника MNPQ. Длина касательной, проведённой из точки Q к окружности, равна 1,  PQ = 2.  Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника MNPQ, если диаметр окружности равен .

Решение

Пусть  QM = x,  а прямая QM пересекает окружность в точке L. Из прямоугольного треугольника LMN находим, что  LM = 1.  По теореме о касательной и секущей  QM·QL = 1,  то есть  x(x ± 1) = 1  (знак зависит от того, лежит ли точка L на отрезке QM или вне его). Решив это уравнение, получаем  S_MNPQ = 2x = ± 1.

Ответ

± 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	945