Задача 53247

Темы:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Через центр O описанной окружности остроугольного треугольника ABC, проведена прямая, перпендикулярная BO и пересекающая отрезок AB в точке P и продолжение отрезка BC за точку C в точке Q. Найдите BP, если известно, что  AB = c,  BC = a  и  BQ = p.

Решение

  Пусть прямая PQ пересекает описанную окружность в точках M и N (N расположена между P и Q). Тогда  MB = NB,
∠A = ½ ⌣BC = ½ (⌣NB – ⌣NC) = ½ (⌣MB – ⌣NC) = ∠MQB.
  Следовательно, треугольники ABC и QBP подобны по двум углам. Поэтому  BC : BP = AB : BQ.  Отсюда  BP = BC·^BQ/_AB = ^ap/_c.

Ответ

^ap/_c.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	942