Задача 53243

Темы:    [ Площадь четырехугольника ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике PQR (PQ > QR) проведены высоты PT и RS ; QN — диаметр окружности, описанной около треугольника PQR . Известно, что острый угол между высотами PT и RS равен α , PR = a . Найдите площадь четырёхугольника NSQT .

Решение

Треугольник PQR — остроугольный, поэтому его угол при вершине Q равен острому углу между высотами PT и RS , т.е. α .
Через вершину Q проведём касательную к описанной окружности треугольника PQR и отметим на ней точку A , лежащую с точкой P по разные стороны от прямой QR . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что AQR= RPQ = QTS , значит, ST || AQ , а т.к. QN AQ , то ST QN . Таким образом, диагонали четырёхугольника NSQT перпендикулярны. Тогда, если S — его площадь, то S=ST· QN .
Треугольник TQS подобен треугольнику PQR , причём коэффициент подобия равен = cos α , значит, ST=PR cos α= a cos α .
Пусть r — радиус описанной окружности треугольника PQR . Тогда r= = . Следовательно,

S=ST· QN = a cos α· 2r= a cos α· = a2 ctg α.

Ответ

a2 ctg α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	938