Информация о задаче

Задача 53235

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC биссектриса AH делит медиану BE в отношении BK : KE = 2, а угол ACB равен 30^o. Найдите отношение площади треугольника BCE к площади описанного около этого треугольника круга.

Подсказка

Треугольник ABC — равнобедренный.

Решение

Медианы треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Поэтому K — точка пересечения медиан треугольника ABC. Следовательно, AH — медиана треугольника ABC. Поэтому треугольник ABC — равнобедренный.

Обозначим AB = AC = 2a. Тогда AH = AB sin 30^o = a. Если P — проекция точки E на BC, то

EP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AH = $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ , BP = BH + HP = BH + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BH = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ BH = $\displaystyle {\frac{3a\sqrt{3}}{2}}$ ,

BE² = BP² + PE² = $\displaystyle {\frac{27a^{2}}{4}}$ + $\displaystyle {\frac{a^{2}}{4}}$ = 7a², BE = a $\displaystyle \sqrt{7}$ .

Если R — радиус описанной окружности треугольника BCE, то

R = $\displaystyle {\frac{BE}{2\sin \angle ECB}}$ = $\displaystyle {\frac{BE}{2\sin 30^{\circ}}}$ = BE = a $\displaystyle \sqrt{7}$ .

Поэтому площадь круга, описанного около треугольника BCE равна 7 $\pi$ a².

Поскольку

S_BCE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.PE = $\displaystyle {\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}}$ ,

то искомое отношение равно ${\frac{\sqrt{3}}{14\pi}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{3}}{14\pi}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	930