Информация о задаче

Задача 53197

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
Темы:	[	Отношения площадей подобных фигур	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность вписана трапеция ABCD, причём её основания AB = 1 и DC = 2. Обозначим точку пересечения диагоналей этой трапеции через F. Найдите отношение суммы площадей треугольников ABF и CDF к сумме площадей треугольников AFD и BCF.

Подсказка

Пусть S — площадь треугольника ABF. Выразите через S площади треугольников CDF, AFD и BFC.

Решение

Обозначим через S площадь треугольника ABF. Из подобия треугольников ABF и CDF следует, что S_CDF = 4S. Поскольку

$\displaystyle {\frac{DF}{FB}}$ = $\displaystyle {\frac{CF}{AF}}$ = $\displaystyle {\frac{CD}{AB}}$ = 2,

то

S_AFD = 2S, S_BFC = 2S.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABF} + S_{\Delta CDF}}{S_{\Delta AFD} + S_{\Delta BFC}}}$ = $\displaystyle {\frac{S + 4S}{2S + 2S}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{4}}$ .

Утверждение верно для любой трапеции, одно основание которой вдвое больше другого.

Ответ

${\frac{5}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	892