Задача 53185

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На плоскости даны две окружности радиусов 4 и 3 с центрами в точках O1 и O2 , касающиеся некоторой прямой в точках M1 и M2 и лежащие по разные стороны от этой прямой. Отношение отрезка O1O2 к отрезку M1M2 равно . Найдите O1O2 .

Решение

Опустим перпендикуляр O1F из центра первой окружности на продолжение рдиуса O2M2 второй окружности. Тогда

O1F=M1M2, M2F = O1M1 = 4, O2F= O2M2+M2F=3+4=7.
Из прямоугольного треугольника O1FO2 находим, что
cos FO1O2== =,
значит, FO1O2=30^o . Следовательно, O1O2=2O2F=2· 7 = 14 .

Ответ

14.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	880