Информация о задаче

Задача 53184

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны две окружности радиусов 12 и 7 с центрами в точках O₁ и O₂, касающиеся некоторой прямой в точках M₁ и M₂ и лежащие по одну сторону от этой прямой. Отношение длины отрезка M₁M₂ к длине отрезка O₁O₂ равно ${\frac{2\sqrt{5}}{5}}$ . Найдите M₁M₂.

Подсказка

Рассмотрите прямоугольный треугольник O₁PO₂, где P — проекция точки O₂ на O₁M₁.

Решение

Пусть P — проекция точки O₂ на прямую O₁M₁. Обозначим $\angle$ O₁O₂P = $\alpha$ . Тогда

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{O_{2}P}{O_{1}O_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{M_{1}M_{2}}{O_{1}O_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{5}}{5}}$ ,

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{5}}{5}}$ , ctg $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}$ = 2.

В прямоугольном треугольнике O₁PO₂:

O₁P = O₁M₁ - PM₁ = O₁M₁ - O₂M₂ = 12 - 7 = 5,

M₁M₂ = O₂P = O₁P^.ctg $\displaystyle \alpha$ = 5^.2 = 10.

Ответ

10.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	879