ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53137
Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной касательной, противоположная вершина – на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей.


Решение

  Пусть O1 и O2 – центры окружностей (см. рис), R и r – их радиусы  (R > r),  AC – основание данного треугольника ABC, расположенное на общей касательной MN  (M и N – точки касания), PQ – вторая общая касательная (P и Q – точки касания), K – точка касания первой окружности со стороной AB, L – второй окружности со стороной BC. Обозначим  AB = BC = a,  AC = 2b,  AM = AK = x,  CN = CL = y,  BH = h  – высота треугольника ABC. Тогда  2a – x – y = PQ = MN = x + y + 2b,  то есть  x + y = a – b.
  Заметим, что  ∠MO1K = ∠BAC.  Проведём биссектрису AL треугольника ABH. Из подобия треугольников AMO1 и LHA получаем  bh/a+b : b = x : R,  то есть
hR = x(a + b).  Аналогично  hr = y(a + b).  Следовательно,  (R + r)h = (x + y)(a + b) = (a – b)(a + b) = a² – b² = h²,  откуда  R + r = h.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 831
журнал
Название "Квант"
год
Год 1991
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М1293
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 54
Год 1991
вариант
Класс 10
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .