Информация о задаче

Задача 53127

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке O. Касательная к окружности в точке C пересекается с прямой, делящей пополам угол B треугольника, в точке K, причём угол BKC равен половине разности утроенного угла A и угла C треугольника. Сумма сторон AC и AB равна 2 + $\sqrt{3}$ , а сумма расстояний от точки O до сторон AC и AB равна 2. Найдите радиус окружности.

Подсказка

Докажите, что точки K и B лежат по одну сторону от прямой AC, а центр O — вне треугольника ABC.

Решение

Пусть указанная касательная пересекает продолжение биссектрисы угла B в точке K так, что точки K и B лежат по разные стороны от прямой AC. Если H — точка пересечения прямой BK с окружностью, то

$\displaystyle \angle$ BHC = $\displaystyle \angle$ A, $\displaystyle \angle$ HCK = $\displaystyle \angle$ HBC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B

(как угол между касательной и хордой). Тогда

$\displaystyle \angle$ BKC = $\displaystyle \angle$ BHC - $\displaystyle \angle$ HCK = $\displaystyle \angle$ A - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (2 $\displaystyle \angle$ A - $\displaystyle \angle$ B) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (2 $\displaystyle \angle$ A - 180^o + $\displaystyle \angle$ A + $\displaystyle \angle$ C) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (3 $\displaystyle \angle$ A + $\displaystyle \angle$ C - 180^o).

Поскольку по условию задачи $\angle$ BKC = ${\frac{1}{2}}$ (3 $\angle$ A - $\angle$ C), то

3 $\displaystyle \angle$ A + $\displaystyle \angle$ C - 180^o = 3 $\displaystyle \angle$ A - $\displaystyle \angle$ C.

Отсюда находим, что $\angle$ C = 90^o. В этом случае точка O — середина AB и, если P — середина AC, то OP = 2, BC = 4, что невозможно, т.к. AB + AC = 2 + $\sqrt{3}$ < 4 = BC. Следовательно, точки B и K лежат по одну сторону от прямой AC.

С помощью рассуждений, аналогичным приведённым выше, установим, что $\angle$ A = 30^o.

Предположим теперь, что центр O лежит внутри треугольника. Пусть Q — середина AB. Тогда

$\displaystyle \angle$ POQ = 150^o, PQ² = OQ² + OP² + 2OQ^.OP cos 30^o =

= (OP + OQ)² - (2 - $\displaystyle \sqrt{3}$ )OQ^.OP =

= 4 - (2 - $\displaystyle \sqrt{3}$ )OQ^.(2 - OQ) $\displaystyle \geqslant$ 4 - (2 - $\displaystyle \sqrt{3}$ )^.1^.1 = 2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Поэтому BC = 2PQ $\geqslant$ 2 $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ , что невозможно, т.к.

BC < AB + AC = 2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ (2 $\displaystyle \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ > 2 + $\displaystyle \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ ).

Центр O не может лежать и на стороне AC, т.к. в этом случае BC = 4, что невозможно. Следовательно, центр O лежит вне треугольника ABC.

Предположим, что точки O и B лежат по разные стороны от прямой AC. Опишем окружность около четырёхугольника AQPO (AO = R — её диаметр) и обозначим $\angle$ OAP = $\alpha$ . Тогда

OP = OA sin $\displaystyle \alpha$ = R sin $\displaystyle \alpha$ , OQ = R sin( $\displaystyle \alpha$ + 30^o),

AQ = R cos( $\displaystyle \alpha$ + 30^o), AP = R cos $\displaystyle \alpha$ .

По условию задачи

R sin $\displaystyle \alpha$ + R sin( $\displaystyle \alpha$ + 30^o) = 2, R cos $\displaystyle \alpha$ + R cos( $\displaystyle \alpha$ + 30^o) = 1 + $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Отсюда следует, что

R cos 15^osin( $\displaystyle \alpha$ + 15^o) = 1, R cos 15^ocos( $\displaystyle \alpha$ + 15^o) = $\displaystyle {\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ .

Возведём обе части полученных равенств в квадрат и сложим их почленно:

R²cos²15^o = 1 + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}\right.$ $\displaystyle {\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}\right)^{2}_{}$ .

Следовательно,

R² = $\displaystyle {\frac{1}{\cos ^{2} 15^{\circ}}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{1 + \left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)^{2}}\right.$ 1 + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}\right.$ $\displaystyle {\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}\right)^{2}_{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1 + \left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)^{2}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{34 - 15\sqrt{3}}}{2}}$ .

Аналогично для случая, когда точки O и C расположены по разные стороны от прямой AB.

Ответ

${\frac{\sqrt{34 - 15\sqrt{3}}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	796