Задача 53123

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Теорема синусов ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB , пересекает прямую AC в точке M , а перпендикуляр, проходящий через середину стороны AC , пересекает прямую AB в точке N . Известно, что MN = BC и прямая MN перпендикулярна прямой BC . Найдите углы треугольника ABC .

Решение

Пусть BC = a ; D и E — середины AB и AC . Точки E , M , D и N лежат на окружности с диаметром MN (т.к. MEN = MDN = 90^o ), MN = a , ED = (средняя линия треугольника ABC ). Тогда DE = MN sin DME . Следовательно,

sin DME = = =.
Тогда либо DME = 30^o , либо DME = 150^o . Пусть DME = 30^o (рис.1). Тогда
BAC = MAD = 90^o - EMD = 60^o.
Вписанные углы EDN и EMN опираются на одну и ту же дугу, DE || BC (как средняя линия), а ABC = DMN (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Поэтому
EMN = EDN = EDA = ABC = DMN.
Следовательно,
ABC = EMD = 15^o.
Тогда
ACB = 180^o-60^o-15^o = 105^o.
Если же DME = 150^o (рис 2.), рассуждая аналогично, получим, что
BAC = 60^o, ACB = 15^o, ABC = 105^o.

Ответ

A = 60^o , B = 15^o , C = 105^o или A = 60^o , B = 105^o , C = 15^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	792