Задача 53088

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка E лежит на продолжении стороны AC правильного треугольника ABC за точку C. Точка K – середина отрезка CE. Прямая, проходящая через точку A перпендикулярно AB, и прямая, проходящая через точку E перпендикулярно BC, пересекаются в точке D. Найдите углы треугольника BKD.

Подсказка

Докажите, что точка K лежит на окружности с диаметром BD.

Решение

Пусть M - точка пересечения прямых BC и ED. Поскольку  ∠BAD = ∠BMD = 90°,  точки A и M лежат на окружности с диаметром BD. Поскольку MK – медиана прямоугольного треугольника CME, то  CK = KM  и  ∠BMK = ∠CMK = ∠KCM = 60° = ∠BAK,  то есть точка K принадлежит той же окружности. Следовательно,
∠BKD = 90°,  ∠BDK = ∠BAK = 60°.

Ответ

90°, 60°, 30°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	757