Задача 53063

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность высекает на сторонах четырёхугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Подсказка

Докажите, что центр данной окружности равноудален от сторон четырёхугольника.

Решение

Пусть O – центр данной окружности, R – её радиус, 2a – длина каждой из указанных хорд. Тогда квадрат расстояния от точки O до каждой стороны четырёхугольника равен  R² – a².  Следовательно, O – центр окружности, вписанной в данный четырёхугольник.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	732