|
Название задачи: Формула Брахмагупты. |
 |
Условие
Докажите, что если стороны вписанного четырёхугольника равны a, b, c и d, то его площадь S равна , где p – полупериметр четырёхугольника.
Подсказка
Выразите квадрат диагонали AC четырёхугольника ABCD из треугольников ABC и ADC.
Решение
Пусть AB = a, BC = b, CD = c, AD = d – стороны вписанного четырёхугольника ABCD. По теореме косинусов
a² + b² – 2ab cos∠B = AC² = c² + d² – 2cd cos∠D = c² + d² + 2cd cos∠B.
Значит, 2(ab + cd) cos∠B = (a² + b² – c² – d²).
С другой стороны 2S = 2SABC + 2SADC = ab sin∠B + cd sin∠D = (ab + cd) sin∠B.
Следовательно, (4S)² + (a² + b² – c² – d²)² = 4(ab + cd)², то есть 16S² = 4(ab + cd)² – (a² + b² – c² – d²)² = (2ab + 2cd + a² + b² – c² – d²)(2ab + 2cd – a² – b² + c² + d²) =
= ((a + b)² – (c – d)²)((c + d)² – (a – b)²) = (a + b + c – d)(a + b – c + d)(a – b + c + d)(b + c + d – a) = 16(p – d)(p – c)(p – b)(p – a), что и требовалось.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 730 |
