Информация о задаче

Задача 53046

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В круге радиуса 12 хорда AB = 6, а хорда BC = 4. Найдите хорду, соединяющую концы дуги AC.

Подсказка

Примените формулу a = 2R sin $\alpha$ . Рассмотрите два случая.

Решение

Пусть R = 12 — радиус окружности. Тогда

AB = 2R sin $\displaystyle \angle$ ACB, BC = 2R sin $\displaystyle \angle$ BAC.

Отсюда находим, что sin $\angle$ ACB = ${\frac{1}{4}}$ и sin $\angle$ BAC = ${\frac{1}{6}}$ . Поскольку сторона BC треугольника ABC — не наибольшая, то угол A — острый и его косинус положительный. Следовательно,

cos $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \sqrt{1 - \sin ^{2}\angle A}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{35}}{6}}$ ,

cos $\displaystyle \angle$ ACB = ± $\displaystyle \sqrt{1-\cos^{2} \angle B}$ = ± $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{4}}$ .

Тогда

AC = 2R sin $\displaystyle \angle$ ABC = 2R sin( $\displaystyle \angle$ BAC + $\displaystyle \angle$ ACB) =

= 2R(sin $\displaystyle \angle$ A^.cos $\displaystyle \angle$ C + cos $\displaystyle \angle$ A^.sin $\displaystyle \angle$ C) =

= 2^.12(± $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{4}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{35}}{6}}$ ) = $\displaystyle \sqrt{35}$ ± $\displaystyle \sqrt{15}$ .

Ответ

$\sqrt{35}$ ± $\sqrt{15}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	715