Информация о задаче

Задача 53045

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике основание равно 24, а боковая сторона равна 15. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.

Подсказка

Для нахождения радиуса вписанной окружности можно использовать свойство биссектрисы треугольника. Для радиуса описанной окружности — формулу a = 2R sin $\alpha$ .

Решение

Пусть AM — высота равнобедренного треугольника ABC, AB = AC = 15, BC = 24, O — центр вписанной окружности, r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.

Поскольку треугольник — равнобедренный, то точка O лежит на отрезке AM, и BO — биссектриса угла ABC. Поэтому ${\frac{OM}{OA}}$ = ${\frac{BM}{AB}}$ . Следовательно,

r = OM = $\displaystyle {\frac{AM\cdot MB}{MB + AB}}$ = $\displaystyle {\frac{9\cdot 12}{12 + 15}}$ = 4.

R = $\displaystyle {\frac{AC}{2\sin \angle ABC}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{2\cdot \frac{AM}{AB}}}$ = $\displaystyle {\frac{15}{2\cdot \frac{9}{15}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{2}}$ .

Ответ

4; 12,5.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	714