ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53041
Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC отрезок MN с концами на сторонах AC и BC параллелен основанию AB и касается вписанной окружности.  ∠A = 2α ,  ∠B = 2β.
Найдите коэффициент подобия треугольников ABC и MNC.


Подсказка

Коэффициент подобия указанных треугольников равен отношению их полупериметров.


Решение

  Пусть P – точка касания вписанной окружности со стороной AC, r – радиус вписанной окружности. Тогда  AB = r ctg α + r ctg β,  AP = r ctg α,
PC = r ctg ½ ∠C = r ctg(90° – α – β) = r tg(α + β).
  С другой стороны, отрезок PC равен полупериметру треугольника MNC, а полупериметр треугольника ABC равен   r(ctg α + ctg β + tg(α + β)).
  Коэффициент подобия треугольников ABC и MNC равен отношению их полупериметров, то есть  


Ответ

ctg α ctg β.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 710

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .