Задача 53000

Темы:    [ Окружности, вписанные в сегмент ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном секторе AOB проведена хорда AB и в образовавшийся сегмент вписан квадрат. Найдите отношение стороны квадрата к радиусу окружности, которая касается хорды AB, дуги AB и стороны квадрата, перпендикулярной хорде AB.

Подсказка

Выразите радиус сектора через сторону квадрата.

Решение

  Пусть a – сторона квадрата MNPQ (точки P и Q принадлежат хорде AB), R – радиус сектора, F – центр указанной окружности ω, r – её радиус, E и H – точки касания ω со стороной NP квадрата и дугой AB, T – середина MN, K – середина хорды AB, D – точка пересечения прямой FE с отрезком OT.
  По теореме Пифагора  OM² = OT² + MT²,  или    Отсюда  R = .
  OF² = OD² + DF²,  или     Подставив  R = ,  после упрощения получим уравнение    откуда находим ^a/_r.

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	667