ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52995
Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Площадь трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность проходит через вершины A и B прямоугольника ABCD и касается стороны CD в её середине. Через вершину D проведена прямая, которая касается той же окружности в точке E, а затем пересекает продолжение стороны AB в точке K.
Найдите площадь трапеции BCDK, если  AB = 10  и  KE : KA = 3 : 2.


Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.


Решение

  Пусть M – середина CD. Тогда  DE = DM = 5.  Пусть  AK = 2x,  тогда  KE = 3x.  По теореме о касательной и секущей  KE² = BK·AK,  или  9x² = (10 + 2x)·2x,  откуда  x = 4.  Поэтому  AK = 8,  BK = 18,  KE = 12,  KD = KE + ED = 12 + 5 = 17.
  По теореме Пифагора  AD² = KD² – AK² = 17² – 8² = 15².
  Следовательно,  SBCDK = ½ (18 + 10)·15 = 210.


Ответ

210.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 662

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .