Информация о задаче

Задача 52990

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольнике ABCD сторона AB равна стороне BC, диагональ AC равна стороне CD, а $\angle$ ACB = $\angle$ ACD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACB и ACD, относятся как 3:4. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Подсказка

Обозначьте $\angle$ ACB = $\angle$ ACD = 2 $\alpha$ и найдите cos 2 $\alpha$ , пользуясь тем, что расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности между полупериметром и противолежащей стороной треугольника.

Решение

Пусть $\angle$ ACB = $\angle$ ACD = 2 $\alpha$ , AC = CD = x, r и R — радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC и ACD соответственно, O и Q — их центры, M и N — середины соответственно AC и AD, p₁ и p₂ — полупериметры треугольников ABC и ADC соответственно, K — точка касания вписанной окружности треугольника ADC со стороной CD. Тогда

CK = p₂ - AD, CM = p₁ - AB, CK = Rctg $\displaystyle \alpha$ , CM = rctg $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{p_{2}- AD}{p_{1}- AB}}$ = $\displaystyle {\frac{R}{r}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{3}}$ ,

или

$\displaystyle {\frac{x - \frac{1}{2}AD}{\frac{x}{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{3}}$ .

Из этого уравнения находим, что AD = ${\frac{2x}{3}}$ . Следовательно,

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{DN}{CD}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ , cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{2}}{3}}$ ,

cos 2 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{9}}$ , BC = $\displaystyle {\frac{CM}{\cos 2\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{9x}{14}}$ .

Тогда ${\frac{p_{1}}{p_{2}}}$ = ${\frac{6}{7}}$ . Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ADC}}}$ = $\displaystyle {\frac{rp_{1}}{Rp_{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ ^. $\displaystyle {\frac{p_{1}}{p_{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{14}}$ .

Ответ

9 : 14.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	657