Информация о задаче

Задача 52983

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

О треугольнике ABC известно, что $\angle$ ABC = $\alpha$ , $\angle$ BCA = $\beta$ , AC = b. На стороне BC взята точка D, причём BD = 3DC. Через точки B и D проведена окружность, касающаяся стороны AC или её продолжения за точку A. Найдите радиус этой окружности.

Подсказка

С помощью теоремы о касательной и секущей докажите, что PC = ${\frac{1}{2}}$ BC. Далее примените теоремы косинусов и синусов.

Решение

Пусть P — точка касания окружности с прямой AC. Обозначим CD = x. Тогда

PC² = CB^.CD = 4x^.x = 4x².

Поэтому PC = 2x. По теореме косинусов из треугольника PCD находим, что

PD = $\displaystyle \sqrt{CP^{2}+ CP^{2}- 2CD\cdot PC\cos \angle C}$ =

= $\displaystyle \sqrt{x^{2}+ 4x^{2}- 4x^{2}\cos \beta}$ = x $\displaystyle \sqrt{5 - 4\cos \beta}$ .

По теореме синусов

sin $\displaystyle \angle$ CPD = $\displaystyle {\frac{CD\cdot \sin \alpha}{PD}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \beta}{\sqrt{5 - 4\cos \beta}}}$ .

Пусть R — радиус описанной окружности треугольника BPD. Поскольку $\angle$ CPD = ${\frac{\cup PD}{2}}$ = $\angle$ PBD, то

R = $\displaystyle {\frac{PD}{2\sin \angle PBD}}$ = $\displaystyle {\frac{x(5 - 4\cos \beta)}{2\sin \beta}}$ .

По теореме синусов из треугольника ABC находим, что

BC = 4x = $\displaystyle {\frac{AC\sin \alpha}{\sin (\alpha + \beta)}}$ .

Следовательно,

R = $\displaystyle {\frac{b\sin \alpha (5 - 4\cos \alpha)}{8\sin \beta \sin (\alpha + \beta)}}$ .

Ответ

${\frac{b\sin \alpha (5 - 4\cos \alpha)}{8\sin \beta \sin (\alpha + \beta)}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	650