Задача 52966

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 30, вписана окружность. Один из катетов делится точкой касания в отношении  2 : 3,  считая от вершины прямого угла. Найдите стороны треугольника.

Решение

Пусть r – радиус вписанной окружности. Тогда один из катетов равен ^5r/₂, а площадь треугольника равна 15r. Значит, второй катет  2·15 : ⁵/₂ = 12.  Следовательно, гипотенуза равна  12 + ^3r/₂,  а периметр –  24 + 5r = 30,  то есть  r = 2.

Ответ

5, 12, 13.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	633