ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52911
Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан четырёхугольник ABCD , диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E . Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к BC , пересекает сторону AD в точке M . Докажите, что EM — медиана треугольника AED и найдите её длину, если AB = 7 , CE = 3 , ADB = α .

Решение

Вписанные углы ACB и ADB опираются на одну и ту же дугу, поэтому

ECB = ACB = ADB = α.

Пусть прямые ME и BC пересекаются в точке H . Тогда
DEM = BEH = BCE = α,

поэтому ME=MD . Аналогично, ME=MA . Следовательно, M — середина AD , т.е. EM — медиана треугольника AED .
Из прямоугольных треугольников BCE , ABE и AED находим, что
BE = CE tg α = 3 tg α, AE = =,


AD = = .

Следовательно, EM=AD = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 578

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .