Информация о задаче

Задача 52854

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан угол, равный $\alpha$ . На его биссектрисе взята точка K; P и M — проекции K на стороны угла. На отрезке PM взята точка A такая, что KA = a. Прямая, проходящая через A перпендикулярно KA, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите площадь треугольника BKC.

Подсказка

Точки C, A, K и M принадлежат одной окружности.

Решение

Заметим, что

$\displaystyle \angle$ PMK = $\displaystyle \angle$ MPK = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ,

Поскольку отрезок CK виден из точек A и M под прямым углом, то точки C, A, K и M лежат на одной окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$ ACK = $\displaystyle \angle$ AMK = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Аналогично

$\displaystyle \angle$ ABK = $\displaystyle \angle$ APK = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Из прямоугольного треугольника ACK находим, что

AC = AKctg $\displaystyle \angle$ ACK = actg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Следовательно,

BC = 2AC = 2actg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ , S_BKC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.AK = a²ctg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Ответ

a²ctg ${\frac{\alpha}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	521