Информация о задаче

Задача 52852

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из некоторой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, проведены прямые, параллельные BC, CA и AB и пересекающие прямые CA, AB и BC в точках M, N и Q соответственно. Докажите, что точки M, N и Q лежат на одной прямой.

Подсказка

Если P — точка на данной окружности, то точки B, P, Q и N принадлежат одной окружности и точки Q, C, M и P также принадлежат одной окружности. Используя этот факт, докажите, что $\angle$ BQN = $\angle$ CQM.

Решение

Пусть дана точка P, принадлежащая дуге BC. Достаточно доказать, что $\angle$ BQN = $\angle$ CQM.

Точки B, P, Q и N принадлежат одной окружности, т.к.

$\displaystyle \angle$ BNP = $\displaystyle \angle$ BQP = 60^o.

Поэтому $\angle$ BQN = $\angle$ BPN.

Точки Q, C, M и P также принадлежат одной окружности, т.к.

$\displaystyle \angle$ QCM + $\displaystyle \angle$ QMP = 120^o + 60^o = 180^o.

Поэтому $\angle$ CQM = $\angle$ CPM.

Поскольку

$\displaystyle \angle$ BPC = $\displaystyle \angle$ NPM = 120^o,

то $\angle$ BPN = $\angle$ CPM. Следовательно, $\angle$ BQN = $\angle$ CQM.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	519