Информация о задаче

Задача 52833

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны углы: $\angle$ BAC = 20^o, $\angle$ BCA = 35^o, $\angle$ BDC = 40^o, $\angle$ BDA = 70^o. Найдите угол между диагоналями этого четырёхугольника.

Подсказка

Проведите биссектрису угла ADB.

Решение

Пусть K — точка пересечения биссектрисы угла ADB с диагональю АС. Поскольку $\angle$ KDB = $\angle$ KCB = 35^o, то точки K, B, C, D лежат на одной окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$ BKC = $\displaystyle \angle$ BDC = 40^o, $\displaystyle \angle$ ABK = $\displaystyle \angle$ BKC - $\displaystyle \angle$ BAC = 40^o - 20^o = 20^o.

Тогда AK = BK и радиус окружности, описанной около треугольника AKD, равен радиусу первой окружности ( $\angle$ ADK = $\angle$ KDB = 35^o). Поэтому

$\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle {\frac{180^{\circ} - 110^{\circ}}{2}}$ = 35^o.

Следовательно, угол между диагоналями равен

$\displaystyle \angle$ BDC + $\displaystyle \angle$ ACD = 40^o + 35^o = 75^o.

Ответ

75^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	499