ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52829
Темы:    [ Теорема косинусов ]
[ Теорема синусов ]
[ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]
[ Формула Герона ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC  ∠B = 120°.  Найдите общую хорду описанной окружности треугольника ABC и окружности, проходящей через центр вписанной окружности и основания биссектрис углов A и C, если  AC = 1.


Подсказка

Найдите стороны треугольника с вершинами в центрах окружностей и в одном из концов искомой хорды.


Решение

  Пусть O и O1 – центры первой и второй окружностей, R и r – их радиусы, AM и CN — биссектрисы углов при основании, Q – точка их пересечения, XY – искомая общая хорда. Тогда  R = ,  ∠NQM = 150°,  ∠NO1M = 60°,  r = MN = AC·BM/BC = AC·AB/AB+AC = ,  ∠O1MB = ∠MO1B = 30°, 
  Искомая хорда равна удвоенной высоте треугольника XOO1, проведённой из вершины X, причём все стороны этого треугольника известны:       Имеем:

 


Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 495

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .