Задача 52827

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В параллелограмме ABCD острый угол равен α . Окружность радиуса r проходит через вершины A , B , C и пересекает прямые AD и CD в точках M и N . Найдите площадь треугольника BMN .

Решение

Предположим, что точка M лежит на прямой AD , а точка N — на прямой CD .
Пусть BAD = α . Тогда

BNM = BAD = α, BMN = BCN = α.
Отсюда находим, что
BN = BM = 2r sin α, MBN = 180^o - 2α.
Поэтому
S_BMN = · BN· BM sin NBM = (2r sin α )² sin (180° - 2α) =

= 2r² sin²α sin 2α.

Если же точка M лежит на прямой CD , а точка N — на прямой AD , то получим тот же результат.

Ответ

2r² sin²α sin 2α.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	493