ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52820
Темы:    [ Диаметр, основные свойства ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
 В корзину
Прислать комментарий

Условие

На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу AB в точке K. Найдите площадь треугольника BCK, если BC = a, CA = b.


Подсказка

Треугольники CKB и ACB подобны. Найдите коэффициент подобия.


Решение

Поскольку точка K лежит на окружности с диаметром BC, то CK $ \perp$ AB. Треугольники CKB и ACB подобны по двум углам, коэффициент подобия равен $ {\frac{CB}{AB}}$ = $ {\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}$. Поэтому

S$\scriptstyle \Delta$BCK = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}\right.$$\displaystyle {\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}\right)^{2}_{}$ . S$\scriptstyle \Delta$ACB = $\displaystyle {\frac{a^{2}}{a^{2}+ b^{2}}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ab = $\displaystyle {\frac{a^{3}b}{2a^{2}+ 2b^{2}}}$.

Поскольку точка K лежит на окружности с диаметром BC, то CK $ \perp$ AB. Треугольники CKB и ACB подобны по двум углам, коэффициент подобия равен $ {\frac{CB}{AB}}$ = $ {\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}$. Поэтому

S$\scriptstyle \Delta$BCK = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}\right.$$\displaystyle {\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}\right)^{2}_{}$ . S$\scriptstyle \Delta$ACB = $\displaystyle {\frac{a^{2}}{a^{2}+ b^{2}}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ab = $\displaystyle {\frac{a^{3}b}{2a^{2}+ 2b^{2}}}$.

Поскольку точка K лежит на окружности с диаметром BC, то CK $ \perp$ AB. Треугольники CKB и ACB подобны по двум углам, коэффициент подобия равен $ {\frac{CB}{AB}}$ = $ {\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}$. Поэтому

S$\scriptstyle \Delta$BCK = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}\right.$$\displaystyle {\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}\right)^{2}_{}$ . S$\scriptstyle \Delta$ACB = $\displaystyle {\frac{a^{2}}{a^{2}+ b^{2}}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ab = $\displaystyle {\frac{a^{3}b}{2a^{2}+ 2b^{2}}}$.


Ответ

$ {\frac{a^{3}b}{2a^{2} + 2b^{2}}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 485
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .