Информация о задаче

Задача 52809

Темы:	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]
Темы:	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC на наибольшей стороне BC, равной b, выбирается точка M. Найдите наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BAM и ACM.

Подсказка

Рассмотрите проекцию отрезка с концами в центрах окружностей на сторону BC.

Решение

Проекции центров O₁ и O₂ данных окружностей на BC — середины P и Q отрезков BM и MC соответственно. Тогда O₁O₂ $\geqslant$ PQ = ${\frac{b}{2}}$ .

Если AM — высота треугольника BAC, то

O₁O₂ = PQ = $\displaystyle {\frac{b}{2}}$ .

В остальных случаях O₁O₂ > ${\frac{b}{2}}$ .

Ответ

${\frac{b}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	474