Дан прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения (длина, ширина и высота) – целые числа. Известно, что если длину и ширину увеличить на 1, а высоту уменьшить на 2, то объем параллелепипеда не изменится. Докажите, что какое-то из измерений данного параллелепипеда кратно трем.

   Решение

В волейбольном турнире участвовали 110 команд, каждая сыграла с каждой из остальных ровно одну игру (в волейболе не бывает ничьих). Оказалось, что в любой группе из 55 команд найдётся одна, которая проиграла не более чем четырём из остальных 54 команд этой группы. Докажите, что во всём турнире найдётся команда, проигравшая не более чем четырём из остальных 109 команд.

   Решение

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Формула Герона ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На отрезке AC дана точка B, причём  AB = 14,  BC = 28.  На отрезках AB, BC, AC как на диаметрах построены полуокружности в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей.

Подсказка

Примените формулу Герона или теорему Пифагора.

Решение

Пусть точки O₁, O₂ и O – центры данных полуокружностей с диаметрами AB, BC, AC соответственно, x – радиус искомой окружности, O₃ – её центр. Тогда
OO₁ = 14,  OO₂ = 7,  O₁O₃ = 7 + x,  OO₃ = 21 – x,  O₂O₃ = 14 + x.

Первый способ. По формуле Герона  S_OO1O3 = ,  S_OO2O3 = .  Поскольку  S_OO1O3 : OO₂O₃ = OO₁ : OO₂ = 2 : 1,  то
= 2.  Из этого уравнения находим, что x = 6.

Пусть K – проекция точки O₃ точки на AC,  OK = u.  Тогда  (21 – x)² – (7 + x)² = u² – (14 – u)²,  28(14 – 2x) = 14(2u – 14),  2(14 – 2x) = 2u – 14,
(14 + x)² – (21 – x)² = (7 + u)² – u²,  35(2x – 7) = 7(2u + 7),  5(2x – 7) = 2u + 7.  Вычитая, получим  14x – 63 = 21,  откуда  x = 6.

Ответ

6.

Замечания

В общем случае  (AB = 2r,  BC = 2R)  аналогично можно получить формулу  x = ^Rr(R+r)/_R²+Rr+r².

Источники и прецеденты использования