ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52784
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Формула Герона ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На отрезке AC дана точка B, причём  AB = 14,  BC = 28.  На отрезках AB, BC, AC как на диаметрах построены полуокружности в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей.


Подсказка

Примените формулу Герона или теорему Пифагора.


Решение

Пусть точки O1, O2 и O – центры данных полуокружностей с диаметрами AB, BC, AC соответственно, x – радиус искомой окружности, O3 – её центр. Тогда
OO1 = 14,  OO2 = 7,  O1O3 = 7 + xOO3 = 21 – xO2O3 = 14 + x.

Первый способ. По формуле Герона  SOO1O3 = SOO2O3 = .  Поскольку  SOO1O3 : OO2O3 = OO1 : OO2 = 2 : 1,  то
= 2.  Из этого уравнения находим, что x = 6.

Пусть K – проекция точки O3 точки на AC,  OK = u.  Тогда  (21 – x)² – (7 + x)² = u² – (14 – u)²,  28(14 – 2x) = 14(2u – 14),  2(14 – 2x) = 2u – 14,
(14 + x)² – (21 – x)² = (7 + u)² – u²,  35(2x – 7) = 7(2u + 7),  5(2x – 7) = 2u + 7.  Вычитая, получим  14x – 63 = 21,  откуда  x = 6.


Ответ

6.

Замечания

В общем случае  (AB = 2r,  BC = 2R)  аналогично можно получить формулу  x = Rr(R+r)/R²+Rr+r².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 449

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .