Информация о задаче

Задача 52780

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Сторона AB прямоугольника ABCD равна 12, а сторона стороны AD равна 5. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке E. Найдите отношение расстояния от точки E до центра окружности, вписанной в треугольник AED, к расстоянию от точки E до центра окружности, вписанной в треугольник DEC.

Подсказка

Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны.

Решение

Из свойств прямоугольника следует, что DE = ${\frac{1}{2}}$ DB = ${\frac{13}{2}}$ . Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей, M и N — точки касания окружностей с отрезком DE, P и Q — середины AD и DC. Обозначим $\angle$ PED = $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ NO₂E = $\displaystyle \alpha$ , EO₁ = $\displaystyle {\frac{ME}{\cos \alpha}}$ , EO₂ = $\displaystyle {\frac{NE}{\sin \alpha}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{EO_{1}}{EO_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{ME}{NE}}$ tg $\displaystyle \alpha$ , ME = $\displaystyle {\textstyle\frac{13}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ - 5 = 4;

NE = $\displaystyle {\textstyle\frac{13}{2}}$ + 6 - 12 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ , tg $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{12}}$ .

Следовательно, ${\frac{EO_{1}}{EO_{2}}}$ = ${\frac{10}{3}}$ .

Ответ

${\frac{10}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	445