ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52778
Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Описанные четырехугольники ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
 В корзину
Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольник ABCD можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен R и AB = 2BC.


Подсказка

1. Во вписанном четырёхугольнике со взаимно перпендикулярными диагоналями расстояние от центра описанной окружности до одной из сторон равно половине противоположной стороны.

2. Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а т.к. диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон.


Решение

Первый способ.

Обозначим BC = x. Тогда AB = 2x. Пусть O — центр описанной окружности, K и M — середины AD и DC. Тогда

OK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$, OM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB = x,

AD = 2DK = $\displaystyle \sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}$, CD = 2MD = 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-x^{2}}$.

Поскольку AB + CD = BC + AD, то

2x + 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-x^{2}}$ = x + 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}$.

Отсюда находим, что

x = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$, AB = $\displaystyle {\frac{4R}{\sqrt{5}}}$, AD = $\displaystyle {\frac{4R}{\sqrt{5}}}$, BC = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$, CD = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$.

Поэтому AC — биссектриса угла BCD и $ \angle$ABC = 90o. Следовательно, искомая площадь равна удвоенной площади треугольника ABC, т. е. $ {\frac{8}{5}}$R2.

Второй способ.

Обозначим BC = x, AB = 2x, AD = y, CD = z. Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а т.к. диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон. Тогда

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x+y =2x+z\\ x^{2}+y^{2} = 4x^{2}+z^{2}\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x+y =2x+z\\ x^{2}+y^{2} = 4x^{2}+z^{2}\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=y^{2}-z^{2}\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=y^{2}-z^{2}\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=(y-z)(y+z)\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=(y-z)(y+z)\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  

  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=x(y+z)\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=x(y+z)\\ \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x=y+z\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x=y+z\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} y=2x\\ z=x.\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} y=2x\\ z=x.\\ \end{array}$

Поэтому BC = DC и BA = DA, т.е. точки A и C равноудалены от концов отрезка BD. Значит, прямая AC — серединный перпендикуляр к хорде BD описанной окружности четырёхугольника ABCD. Следовательно, AC — диаметр этой окружности, $ \angle$ABC = $ \angle$ADC = 90o.

По теореме Пифагора

BC2 + AB2 = AC2, или x2 + 4x2 = 4R2,

откуда x2 = $ {\frac{4}{5}}$R2. Следовательно,

SABCD = 2S$\scriptstyle \Delta$ABC = 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC . AB = 2x2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{5}}$R2.

Первый способ.

Обозначим BC = x. Тогда AB = 2x. Пусть O — центр описанной окружности, K и M — середины AD и DC. Тогда

OK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$, OM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB = x,

AD = 2DK = $\displaystyle \sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}$, CD = 2MD = 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-x^{2}}$.

Поскольку AB + CD = BC + AD, то

2x + 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-x^{2}}$ = x + 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}$.

Отсюда находим, что

x = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$, AB = $\displaystyle {\frac{4R}{\sqrt{5}}}$, AD = $\displaystyle {\frac{4R}{\sqrt{5}}}$, BC = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$, CD = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$.

Поэтому AC — биссектриса угла BCD и $ \angle$ABC = 90o. Следовательно, искомая площадь равна удвоенной площади треугольника ABC, т. е. $ {\frac{8}{5}}$R2.

Второй способ.

Обозначим BC = x, AB = 2x, AD = y, CD = z. Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а т.к. диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон. Тогда

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x+y =2x+z\\ x^{2}+y^{2} = 4x^{2}+z^{2}\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x+y =2x+z\\ x^{2}+y^{2} = 4x^{2}+z^{2}\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=y^{2}-z^{2}\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=y^{2}-z^{2}\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=(y-z)(y+z)\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=(y-z)(y+z)\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  

  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=x(y+z)\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=x(y+z)\\ \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x=y+z\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x=y+z\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} y=2x\\ z=x.\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} y=2x\\ z=x.\\ \end{array}$

Поэтому BC = DC и BA = DA, т.е. точки A и C равноудалены от концов отрезка BD. Значит, прямая AC — серединный перпендикуляр к хорде BD описанной окружности четырёхугольника ABCD. Следовательно, AC — диаметр этой окружности, $ \angle$ABC = $ \angle$ADC = 90o.

По теореме Пифагора

BC2 + AB2 = AC2, или x2 + 4x2 = 4R2,

откуда x2 = $ {\frac{4}{5}}$R2. Следовательно,

SABCD = 2S$\scriptstyle \Delta$ABC = 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC . AB = 2x2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{5}}$R2.

Первый способ.

Обозначим BC = x. Тогда AB = 2x. Пусть O — центр описанной окружности, K и M — середины AD и DC. Тогда

OK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$, OM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB = x,

AD = 2DK = $\displaystyle \sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}$, CD = 2MD = 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-x^{2}}$.

Поскольку AB + CD = BC + AD, то

2x + 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-x^{2}}$ = x + 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}$.

Отсюда находим, что

x = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$, AB = $\displaystyle {\frac{4R}{\sqrt{5}}}$, AD = $\displaystyle {\frac{4R}{\sqrt{5}}}$, BC = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$, CD = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$.

Поэтому AC — биссектриса угла BCD и $ \angle$ABC = 90o. Следовательно, искомая площадь равна удвоенной площади треугольника ABC, т. е. $ {\frac{8}{5}}$R2.

Второй способ.

Обозначим BC = x, AB = 2x, AD = y, CD = z. Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а т.к. диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон. Тогда

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x+y =2x+z\\ x^{2}+y^{2} = 4x^{2}+z^{2}\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x+y =2x+z\\ x^{2}+y^{2} = 4x^{2}+z^{2}\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=y^{2}-z^{2}\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=y^{2}-z^{2}\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=(y-z)(y+z)\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=(y-z)(y+z)\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  

  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=x(y+z)\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=x(y+z)\\ \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x=y+z\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x=y+z\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} y=2x\\ z=x.\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} y=2x\\ z=x.\\ \end{array}$

Поэтому BC = DC и BA = DA, т.е. точки A и C равноудалены от концов отрезка BD. Значит, прямая AC — серединный перпендикуляр к хорде BD описанной окружности четырёхугольника ABCD. Следовательно, AC — диаметр этой окружности, $ \angle$ABC = $ \angle$ADC = 90o.

По теореме Пифагора

BC2 + AB2 = AC2, или x2 + 4x2 = 4R2,

откуда x2 = $ {\frac{4}{5}}$R2. Следовательно,

SABCD = 2S$\scriptstyle \Delta$ABC = 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC . AB = 2x2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{5}}$R2.


Ответ

$ {\frac{8}{5}}$R2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 443
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .