Задача 52773

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дана окружность с центром в точке O и радиусом 2. Из конца отрезка OA, пересекающегося с окружностью в точке M, проведена касательная AK к окружности,  ∠OAK = 60°.  Найдите радиус окружности, касающейся отрезков AK, AM и дуги MK.

Решение

  Пусть O₁ – центр второй окружности, r – её радиус, F – точка касания с отрезком AM, P – с дугой MK. Тогда    OO₁ = OP + PO₁ = 2 + r,  O₁O² = OF² + O₁F²,  или  (2 + r)² = ¹/₃ (4 – 3r)² + r².
  Из этого уравнения находим, что  r = 2 ± ⁴/₃.  Поскольку  r < ⁴/₃,  то подходит только меньший корень.

Ответ

2 – ⁴/₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	438